ある自然数は、n進法で表すと21022200となり、(n+1)進法で表すと10112121となる。nは、十進法で表すと、何か？ 但し、nは2より大きい自然数とする。
（注: 例えば、十進法によると37は、3*10+7を表す。又、三進法で102は、1*32+0*3+2を意味する。）nの7次多項式を、その導関数を求めて分析
与えられた条件から、
2n7+n6+2n4+2n3+2n2
=(n+1)7+(n+1)5+(n+1)4+2(n+1)3+(n+1)2+2(n+1)+1.
2n7+n6+2n4+2n3+2n2
=n7+7n6+21n5+35n4+35n3+21n2+7n+1
+n5+5n4+10n3+10n2+5n+1
+n4+4n3+6n2+4n+1
+2(n3+3n2+3n+1)
+(n2+2n+1)+2(n+1)+1.
n7-6n6-22n5-39n4-49n3-42n2-26n-9=0 .....[1].
A(n)=n7-6n6-22n5-39n4-49n3-42n2-26n-9
とおく。
n>2のとき、
A(n)<
n7-6n6-22n5.
A(n)=0だから、
0<
n7-6n6-22n5.
0<n5(n-3+√31)(n-3-√31).
n>2だから、n>3+√31、即ち、n≥9 .....[2].
さて、A(n)を微分して、
A'(n)=
7n6-36n5-110n4-156n3-147n2-84n-26.
A''(n)=
42n5-180n4-440n3-468n2-294n-84.
A'''(n)=
210n4-720n3-1320n2-936n-294.
A(4)(n)=840n3-2160n2-2640n-936.
A(5)(n)
=2520n2-4320n-2640
=2520{(n-6/7)2-262/147}.
A(5)(n)=0とすると、n=6/7±√(262/147).
よって、n≥3では、A(5)(n)>0.
[2]によるとn≥9であるが、A(n) をn≥10について調べてみる。
n≥10のとき、A(4)(n)は単調に増加する。
A(4)(10)=840000-216000-26400-936>0.
よって、n≥10では、A(4)(n)>0.
すると、n≥10のとき、A'''(n)は単調に増加する。
A'''(10)=2100000-720000-132000-9360-294>0.
よって、n≥10では、A'''(n)>0.
すると、n≥10のとき、A''(n)は単調に増加する。
A''(10)=4200000-1800000-440000-46800-2940-84>0.
よって、n≥10では、A''(n)>0.
すると、n≥10のとき、A'(n)は単調に増加する。
A'(10)
=7000000-3600000-1100000-156000-14700-840-26>0.
よって、n≥10では、A'(n)>0.
すると、n≥10のとき、A(n)は単調に増加する。
A(10)
=107-6000000-2200000-390000-49000-4200-260-9>0.
よって、n≥10では、A(n)>0 .....[3].
[2], [3]より、A(n)=0となるのは、9≤n<10の場合に限られる。
その結果、n=9.
等式から二つの不等式を導き、nの範囲を限定
A=2n7+n6+2n4+2n3+2n2,
B=(n+1)7+(n+1)5+(n+1)4+2(n+1)3+(n+1)2+2(n+1)+1
とおく。
n>2のとき、A<2n7+2n6、又、B>(n+1)7.
与えられた条件から、A=Bとなる。すると、
(n+1)7<2n7+2n6.
(n+1)6<2n6.
(n+1)6/n6<2<96/86.
(n+1)/n<9/8.
n>8.
nは整数であるから、n≥9 .....[1].
一方、
n>2のとき、A>2n7+n6、又、B<(n+1)7+2(n+1)5.
[1]より、2≤(n+1)/5.
すると、B<(n+1)7+(n+1)6/5.
A=Bより、
2n7+n6<(n+1)7+(n+1)6/5.
(2n+1)n6<(n+6/5)(n+1)6.
2-7/(5n+6)<(n+1)6/n6.
[1]より、2-7/(5n+6)≥2-7/(5*9+6)=95/51.
すると、(n+1)6/n6>95/51>116/106.
(n+1)/n>11/10.
n<10 .....[2].
[1], [2]より、n=9.
nの7次多項式を因数分解
与えられた条件から、
2n7+n6+2n4+2n3+2n2
=(n+1)7+(n+1)5+(n+1)4+2(n+1)3+(n+1)2+2(n+1)+1.
(n+1)(2n6-n5+n4+n3+n2+n-1)
=(n+1){(n+1)6+(n+1)4+(n+1)3+2(n+1)2+(n+1)+2}.
(n+1)2(2n5-3n4+4n3-3n2+4n-3)
=(n+1)2{(n+1)5+(n+1)3+(n+1)2+2(n+1)+1}
=(n+1)2(n5+5n4+11n3+14n2+12n+6).
(n+1)2(n5-8n4-7n3-17n2-8n-9)=0.
(n+1)2(n2+1)(n3-8n2-8n-9)=0.
(n+1)2(n2+1)(n2+n+1)(n-9)=0.
nは自然数だから、n=9.
nが整数であることを有効に活用
与えられた条件から、
2n7+n6+2n4+2n3+2n2
=(n+1)7+(n+1)5+(n+1)4+2(n+1)3+(n+1)2+2(n+1)+1 .....[1].
p, qを自然数として、[1]は、
pn=qn+9
と表される。ここから、
(p-q)n=32.
(p-q)は整数、nは2より大きい自然数だから、n=3又はn=9.
n=3と仮定すると、
[1]の左辺は、3*37=6561より小さく、
[1]の右辺は、47=16384より大きい。
すると、[1]は成り立たない。
故に、n=9.